Estimación del Error de una Medida Directa

La estimación del error de una medida tiene siempre una componente subjetiva. En efecto, nadie mejor que un observador experimentado para saber con buena aproximación cuál es el grado de confianza que le merece la medida que acaba de tomar. No existe un conjunto de reglas bien fundadas e inalterables que permitan determinar el error de una medida en todos los casos imaginables. Muchas veces es tan importante consignar cómo se ha obtenido un error como su propio valor.

 

Mejor valor de un conjunto de Medidas

 

Supongamos que medimos una magnitud un número n de veces. Debido a la existencia de errores aleatorios, las n medidas x1, x2,…, xn serán en general diferentes.

El método más razonable para determinar el mejor valor de estas medidas es tomar el valor medio. En efecto, si los errores son debidos al azar, tan probable es que ocurran por defecto como por exceso, y al hacer la media se compensarán, por lo menos parcialmente. El valor medio se define por:

                    n

X= (1/n) ∑ x1                                                                                       (4)

                  i=1

y este es el valor que deberá darse como resultado de las medidas.  

 

 

Dispersión y Error. Desviación Estándar 

                                                    

Evidentemente, el error de la medida debe estar relacionado con la dispersión de los valores; es decir, si todos los valores obtenidos en la medición son muy parecidos, es lógico pensar que el error es pequeño, mientras que si son muy diferentes, el error debe ser mayor.

 

Adoptando un criterio pesimista, podría decirse que el error es la semidiferencia entre el valor máximo y el mínimo.

 

                                  

 

Cuando el número de datos es pequeño, suele preferirse el cálculo de la desviación estándar por la ecuación:

 

                                                               (6)

 

La primera suele llamarse desviación estándar de población, y la segunda desviación estándar muestral.

 

Significado de la Desviación Estándar. La Distribución Normal

 

Los valores de la desviación estándar que hemos calculado en la sección anterior, son realmente estimadores de este parámetro. El conjunto de las medidas de una magnitud, siempre que exista un error accidental, pueden caracterizarse por medio de una distribución estadística. Cuando el error es debido a un gran número de pequeñas causas independientes, la distribución se aproxima a la llamada distribución normal.

 

La forma de representar en estadística una distribución es representando en abscisas el conjunto de valores que pueden obtenerse en una medida y en ordenadas la probabilidad de obtenerlos. En el caso de que la magnitud medida varíe de forma continua, en ordenadas se representa la probabilidad por unidad de intervalo de la magnitud medida. En una distribución continua, la probabilidad de que una medida esté entre dos valores x0 y x1 viene representada por:

 

 

 

Donde f(x) es la función de densidad de la distribución. La función de densidad representa la probabilidad (por unidad de intervalo de la magnitud medida) de obtener un determinado valor en una medida. Obviamente:

 

 

 

puesto que es seguro (probabilidad 1) obtener un valor cualquiera cuando se mide una magnitud.

 

Medidas sin dispersión. Error de lectura o instrumental

          

En ocasiones la repetición de la medida de una magnitud conduce siempre al mismo valor.

 

En efecto, el hecho de que todas las medidas sean iguales no indica en general que no haya error accidental, sino que éste es demasiado pequeño para quedar reflejado en el aparato.

 

Se llama sensibilidad de un aparato a la mínima variación de la magnitud medida que es capaz de detectar. En los instrumentos analógicos coincide frecuentemente con la mínima división de la escala.

 

Suele llamarse apreciación al máximo error que puede cometerse debido a la sensibilidad del aparato. Generalmente se  considera como la mitad de la sensibilidad.

 

En resumen, el error instrumental de una medida se expresa frecuentemente por:

 

Eins = s/3                                                                    (9)         

 

Donde: s es la sensibilidad del aparato de medida.

 

En aquellos casos en que los errores sean del mismo orden de magnitud, puede considerarse que el error total es la suma de los dos:

 

 

donde eins es el error instrumental y σ es el error accidental expresado por la desviación estándar.

 

Propagación de Errores

 

Las operaciones matemáticas con números inciertos dan lugar a resultados también inciertos, y es importante poder estimar el error de los resultados a partir de los errores de los números con los que se opera.

 

Ajuste por mínimos cuadrados

 

Hasta ahora nos hemos ocupado de la manera de obtener el mejor valor de una magnitud a partir de una o varias medidas. Un problema más general es determinar la relación funcional entre dos magnitudes x e y como resultado de experimentos.

Supongamos que por razones teóricas bien fundadas sabemos que entre x e y existe la relación lineal

                                            y=ax+b

 

y deseamos determinar los parámetros a y b a partir de n medidas de x e y. a es la pendiente de la recta, es decir, la tangente del ángulo que forma con el eje de abscisas, y b la ordenada en el origen, es decir la altura a la que corta la recta al eje de ordenadas.

Para concretar, supongamos que los valores que han resultado de un experimento son los siguientes:

 

X1   1     2     3     4     5     6

Y1   1.5  2.5  4.0  3.6  5.9  6.1

 

Para determinar la recta que mejor se adapta a los puntos se emplea el llamado método de los mínimos cuadrados. Para un valor de x determinado, la recta de ajuste proporciona un valor diferente de y del medido en el experimento. Esta diferencia será positiva para algunos puntos y negativa para otros, puesto que los puntos se disponen alrededor de la recta. Por este motivo, la suma de estas diferencias para todos los puntos es poco significativa (las diferencias negativas se compensan con las positivas).

 

Por ello, para medir la discrepancia entre la recta y los puntos, se emplea la suma de los cuadrados de las diferencias, con los que nos aseguramos de que todos los términos son positivos. Esta suma tiene la forma:

         

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